kesebangunan

Kesebangunan dan Kongruensi




Dua buah bangun dikatakan sebangun jika mempunyai perbandingan yang sama besar dan sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar. Lihat gambar 1.a

Garis AB bersesuaian dengan garis A’B’
Garis BC bersesuaian dengan garis B’C’
Garis CD bersesuaian dengan garis C’D’
Garis AD bersesuaian dengan garis A’D’

Perbandingan garis-garis yang bersesuaian sama besar:
AB/AB = BC/B’C’ = CD/C’D’ = AD/A’D’

Pada gambar, perhatikan sudut-sudut yang bersesuaiannya.

Sudut A = Sudut A’, Sudut B = Sudut B’, Sudut C = Sudut C’, dan Sudut D = Sudut D’



Contoh :

Untuk mencari nilai x, y, dan z terlebih dahulu mengetahui garis-garis yang bersesuaiannya.
Dari gambar tersebut didapat : 3/6 = 8/X = 12/Y = 4/Z maka,
nilai X adalah : 3/6 = 8/X
3X = 6 . 8
X = 48/3 = 16 cm
nilai Y adalah : 3/6 = 12/Y
3Y = 6 . 12
Y = 72/3 = 24 cm
nilai Z adalah : 3/6 = 4/Z
3Z = 6 . 4
Z = 24/3 = 8 cm

Sebuah foto dan sebuah bingkai mempunyai bentuk yang sebangun. Foto yang berukuran 20 cm x 25 cm tersebut ditempelkan tepat di tengah-tengah bingkai yang mempunyai panjang 50 cm. maka jarak sisi kiri-kanan dan atas- bawah foto dan tepi bingkai adalah ….
Panjang foto = Lebar foto = 25 = 20
Panjang bingkai Lebar bingkai 50 Lb
Lb = 50 x 20/ 25 …………Lb = 40 cm
Jarak sisi kiri-kanan = (40 - 20)/2 = 10 cm
Jarak sisi atas-bawah = (50 – 25)/2 = 12,5 cm
Latihan I.1


1. Perhatikan gambar berikut:
Tentukan nilai A, B, C, dan D pada gambar di samping.







2. Sebuah foto di tempelkan pada sebuah karton yang berukuran 40cm x 30 cm. Jarak tepi kiri-kanan dan bawah karton dan foto adalah 5 cm. Tentukan jarak tepi atas karton dengan foto jika foto dan karton sebangun ?



Kesebangunan pada Segitiga

Perhatikan gambar segitiga RTS
f bersesuaian dengan a, c bersesuaian dengan b+c, d bersesuaian dengan e+d
maka perbandingannya adalah :
f = c = d .
a c + b d + e

Perhatikan segitiga PQR (gambar 1.b) berikut:






Pada segitiga PQR tersebut dipotong oleh garis QS sehingga membentukduabuah segitiga siku-siku yang baru yaitu ∆ PSQ dan ∆ QSR. Nampak ketiga segitiga tersebut sebangun dengan syarat :
PQ pada ∆ PQR bersesuaian dengan PS pada ∆ PSQ dan QS pada ∆ QSR.
QR pada ∆ PQR bersesuaian dengan SQ pada ∆ PSQ dan SR pada ∆ QSR.
PR pada ∆ PQR bersesuaian dengan PQ pada ∆ PSQ dan QR pada ∆ QSR.

Maka : PQ = QR = PR atau PQ = QR = PR atau PS = SQ = PQ
PS SQ PQ QS SR QR QS SR QR



Latihan I.2


1. Perhatikan gambar berikut :

Panjang AB = 12 cm, AC = 16 cm, dan ED = 8 cm.
Tentukan panjang :
a. CB
b. CD
c. EC
d. DB




2. Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan panjang :
a. PR
b. SR
c. QS




3. Tinggi Amir 150 cm, ia melihat puncak sebuah tiang bendera yang tingginya 8,5 meter tepat dengan puncak sebuah gedung. Jika jarak Amir dengan tiang bendera 10 meter dan jarak tiang bendera dengan gedung 500 meter, tentukan tinggi gedung tersebut ?




Latihan I.3


1. Dengan memperhatikan gambar segitiga di samping, tuliskan perbandingan sisi-sisinya, apakah kedua segitiga tersebut sebangun ?




2. Dua buah kertas berukuran masing-masing 32 cm x 20 cm dan 24 cm x 14 cm. Apakah kedua ketas tersebut sebangun ? Buktikan !

3. Perhatikan gambar dua bangun yang sebangun di samping.
Dari gambar tersebut maka nilai x, y, dan z ?



4. Sebuah foto dan bingkai mempunyai bentuk yang sebangun. Jika panjang foto 16 cm dan lebarnya 12 cm sedangkan panjang bingkai 24 cm. Tentukan lebar bingkai ?

5. Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah ini.
Jika panjang AB =15 cm panjang BC = 20 cm dan panjang AD = 6 cm, tentukan panjang DC dan BD




6. Sebuah kusen jendela berbentuk persegi panjang dengan ukuran luar 80 cm x 28 cm dan tebal bingkai 4 cm .
a. Berapa ukuran sisi persegi panjang dalam.
b. Apakah persegi panjang tepi luar kusen sebangun dengan persegi panjang tepi dalam ?

7. Sebuah foto diletakkan pada selembar karton yang berukuran lebar 20 cm dan tingginya 30 cm. lebar foto sejajar dengan lebar karton. Di sebelah atas, kiri, dan kanan foto tadi masih terdapat karton selebar 3 cm. jika foto tersebut sebangun dengan karton tadi, berapakah lebar karton di sebelah bawah yang tidak tertutup oleh foto tersebut ?

8. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar tersebut foto ditempelkan pada karton dan ukuran foto 50 cm x 40 cm. Jarak sisi atas-bawah-kiri foto dengan bingkai 5 cm, tentukan jarak tepi kanan foto dengan bingkai ?




9. Perhatikan gambar di samping.
Sebuah bingkai foto yang berukuran 60 cm x 100 cm di tempelkan sebuah foto dengan jarak pada sisi kanan adalah 2 cm, sisi kiri 6 cm, dan tepi atas 3 cm seperti terlihat pada gambar. Jika bingkai dan foto adalah bangun yang sebangun, tentukan panjang x ?




10. Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika segiempat ABCD sebangun dengan Segiempat DEFG, panjang DE = 6 cm, GC = 3 cm, dan panjang AB = 12 cm maka tentukan panjang BC ?






Latihan I.4

1. Sebuah peta mempunyai skala 1 : 500.000. Peta tersebut di foto copy 80%. Jika jarak dua kota pada peta hasil foto copy adalah 4,8 cm, jarak dua kota sebenarnya adalah ….
A. 24 km C. 32 km
B. 30 km D. 36 km

2. Sebuah foto diletakkan pada karton berukuran 30 cm x 40 cm. di sebelah kiri, atas, dan kanan foto tadi masih tersisa karton selebar 5 cm. jika foto tadi sebangun dengan karton, lebar karton di bawah foto adalah ….
A. 8,3 cm C. 18,6 cm
B. 12,4 cm D. 26,6 cm

3. Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika trapezium ABCD dan PQRS sebangun, maka panjang QR, PS, dan CD berturut – turut adalah ….
A. 12 cm, 9 cm, dan 7 cm
B. 12 cm, 8 cm, dan 6 cm
C. 12 cm, 7 cm, dan 5 cm
D. 12 cm, 6 cm, dan 4 cm

4. Perhatikan gambar di bawah ini.
Pada gambar di samping jika DE = 3 cm dan EA = 12 cm, maka panjang EF adalah ….
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 7 cm
D. 8 cm


5. Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika ΔABC sebangun dengan ΔEBD, maka panjang EC adalah ….
A. 8 cm
B. 6 cm
C. 5 cm
D. 4 cm




6. Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika panjang BC pada gambar di atas 15 cm, maka panjang AD adalah ….
A. 5,4 cm
B. 6 cm
C. 7,2 cm
D. 9,6 cm


7. Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di samping, PL\\ST dan PS\\TL. Bila panjang MT = 4 cm, PS = TL = 12 cm, dan ST = PL = 8 cm, maka panjang KP adalah ….
A. 16 cm
B. 24 cm
C. 28 cm
D. 32 cm

8. Di tempat wisata terdapat kolam yang tepinya berbentuk segitiga. Di bagian dasarkolam kolam tersebut terdapat bentangan tanaman air yang di rangkai dengan indah seperti sketsa gambar di samping dan DE\\BC. Panjang rangkaian tanaman air yang terdapat pada kolam (DE) adalah ….
A. 30 m C. 45 m
B. 40 m D. 55 m

9. Perhatikan gambar di bawah.
Panjang ST adalah ….
A. 13 cm
B. 15 cm
C. 16 cm
D. 17 cm

10. Perhatikan gambar di bawah ini.
Besar  CBD pada gambar di atas adalah ….
A. 500
B. 800
C. 1300
D. 1450

11. Perhatikan gambar.
Bila ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen,
maka panjang sisi ∆ DEF adalah ….
A. DE = 6 cm, EF = 5 cm, DF = 3 cm
B. DE = 5 cm, EF = 6 cm, DF = 3 cm
C. DE = 6 cm, EF = 3 cm, DF = 5 cm
D. DE = 5 cm, EF = 3 cm, DF = 6 cm

12. ABCD adalah trapezium sama kaki, segitiga yang kongruen dengan ∆ ACD adalah ….
A. ∆ BDC C. ∆ BEC
B. ∆ AED D. ∆ ABE


13. Dari gambar layang-layang di samping, banyak segitiga yang kongruen adalah ….
A. 6 pasang
B. 5 pasang
C. 4 pasang
D. 3 pasang
14. Gambar di samping, diketahui sudut D = sudut R dan DE = PR. Jika segitiga DEF kongruen dengan segitiga RPQ, maka  DFE sama dengan besar sudut ….
A. QRP
B. RPQ
C. PRQ
D. PQR

15. Perhatikan gambar di bawah ini
Pasangan segitiga yang kongruen pada gambar di saping adalah ….
A. ∆ ARP dan ∆ CRS
B. ∆ RPS dan ∆ BPS
C. ∆ RCS dan ∆ PSB
D. ∆ ARP dan ∆ SPR



16. Sebuah foto ditempatkan pada karton berukuran 50 cm x 90 cm pada posisi searah karton. Di sebelah kiri, kanan, dan atas foto terdapat sisa karton yang lebarnya 5 cm. Jika foto dan kartonsebangun maka lebar karton di bagian bawah foto adalah ….
A. 5 cm C. 13 cm
B. 10 cm D. 18 cm

17. Segitiga ABC siku-siku di B kongruen dengan segitiga PQR siku-siku di P. Jika panjang BC = 8 cm dan QR = 10 cm, maka luas segitiga PQR adalah ….
A. 24 cm2 C. 48 cm2
B. 40 cm2 D. 80 cm2

18. Pada layer TV, sebuah menara tampak berukuran tinggi 12 cm dan lebar 5 cm. Jika lebar sebenarnya 15 m, maka tinggi menara sebenarnya adalah ….
A. 18 m C. 30 m
B. 22 m D. 36 m

19. Sebuah mobil truk berukuran panjang 12 m dan tinggi 3 m. Jika mobil itu di buat model dengan panjang 24 cm, maka tinggi truk pada model itu adalah ….
A. 2 cm C. 6 cm
B. 4 cm D. 8 cm

20. Perhatikan gambar.
Segitiga ABC dan DEF adalah kongruen. Di antara pernyataan berikut yang benar adalah ….
A.  B =  E dan AB = DE
B.  B =  E dan AB = EF
C.  B =  F dan AB = DE
D.  B =  F dan AB = EF

baris dan deret bilangan

Baris dan Deret Aritmatika

Barisan dengan satu pembeda

Contoh Barisan: 3, 8, 13, 18, ... maka,
Suku pertama (U1 = a) = 3
Suku ke-dua (U2) = 8
Suku ke-tiga (U3) = 13
Selisih/Beda (b) adalah U2 – U1, U3 – U2, Un – Un-1 = 8 – 3 = 5

Rumus suku ke-n (Un) = a + (n-1)b

Dengan artian : U1 = a, U2 = a + b, U3 = a + 2b, U4 = a + 3b dst…

Barisan dengan dua pembeda

Contoh Barisan : 4, 6, 16, …
Suku pertama (a) = U1 = 4
Beda (b) = U2 – U1 = 6 – 4 = 2
Selisih beda (c) = b2 – b1 = (U3 – U2) – (U2 – U1) = (16 – 6) – (6 – 4) = 10 – 2 = 8



Rumus suku ke-n (Un) = a + (n-1)b + c (n-1)(n- 2)
2
= a + (n-1)b + c (n2 – 3n + 2)
2




Contoh
Sebuah gedung pertemuan terdapat 40 buah kursi pada baris ke-4 dan 56 buah kursi pada baris ke-8. tentukan banyaknya kursi pada baris terdepan dan pada baris ke-11 ?
U4 = a + 3b = 40
U8 = a + 7b = 56 -
-4b = -16 b = 4
subtitusikan b=4 ke dalam salah satunya : U4 = a + 3b = 40
a + 3(4) = 40
a = 40 – 12 = 28
jadi banyaknya kursi pada baris terdepan adalah 28 buah kursi.
banyaknya kursi pada baris ke-11
U11 = a + 10b = 28 + 10(4) = 68 buah kursi


Deret bilangan


Deret bilangan (Sn) adalah jumlah bilangan sampai dengan suku ke-n
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un

Sn = n (a + Un) atau n (2a + (n-1)b)
2 2

Contoh barisan bilangan : 3, 7, 11, …
Maka rumus deretnya adalah : Sn = n/2 (2(3) + (n-1) 4)
= n/2 (6 + 4n – 4)
= n/2 (4n + 2)
= (4n2/2) + (2n/2) = 2n2 + n
Jumlah bilangan sampai dengan deret ke-10 adalah : 2n2 + n = 2(10)2 + 10 = 210


Contoh
Sebuah gedung pertemuan memuat 30 buah kursi pada baris terdepan dan selalu bertambah 2 buah kursi pada sisi kiri-kanan untuk setiap kursi yang berada di belakangnya. Jika gedung tersebut terdapat 20 baris kursi, maka jumlah seluruh kursi pada gedung pertemuan tersebut adalah …
a = 10, b = 2(2) = 4
Sn = 20/2 (2(30) + (20-1)4)
= 10 (60 + (19)4)
= 10 (60 +76)
= 10 (136) = 1.360 buah kursi.

Pada sebuah gedung pertemuan terdapat 40 buah kursi pada baris ke-4,dan 52 buah kursi pada baris ke-7. Jika jumlah deret kursi pada gedung tersebut ada 12 deret, maka tentukan jumlah kursi pada gedung pertemuan tersebut.
U4 = a + 3b = 40
U3 = a + 6b = 52 –
-3b = -12 b = 4
U4 = a + 3(4) = 40
a = 40 – 12 a = 28
S10 = 12/2 (2(28) + (12-1)4)
= 6 (56 + 44)
= 6 (100)
= 600 buah kursi
Baris dan Deret Geometri

Baris geometri


Un = arn-1


a = suku pertama (U1)
r = rasio = U2
U1

Contoh
Baris geometri : 3, 9, 27, …
Maka nilai a = U1 = 3
r = 9/3 = 3
U5 = arn-1
= 3(3)5-1
= 3(3)4
= 3(81)
= 243


Deret Geometri

Menghitung jumlah deret geometri
U1 + U2 + U3 + U4 + . . . Un atau a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn-1


Sn = a(1 – rn) , untuk r < 1 1 – r dan Sn = a(rn – 1) , untuk r > 1
r – 1



Contoh:

Baris geometri : 5, 10, 20, …
Jumlah bilangan sampai dengan deret ke-5 :
a = U1 = 5
r = U2/U1 = 10/5 = 2 … r > 1
S5 = 5 (25 – 1)
2 – 1
= 5 (32 – 1)
1
= 5 (31)
= 155

Baris geomerti : 81, 27, 9, …
Jumlah bilangan sampai dengan deret ke-5 :
a = U1 = 81
r = 27/81 = 1/3 … r < 1
S6 = 81 ( 1 – ( 1/3 )5)
1 - 1/3
= 81 (1 - 1/243)
2/3
= 81( 242/243)
2/3
= 121